Wie rechne ich mit einem Baumdiagramm?
In der Regel ist uns das Baumdiagramm bereits aus der 7. – 10. Klasse bekannt. Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Stufen besteht, kann in Form eines Baumdiagramms dargestellt werden. Für jeden möglichen Fall ergibt sich ein eigener Ast, den wir mit der entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeit markieren. So erhalten wir am Ende aus eine Ansammlung verschiedener Pfade.
Theorie
Für das Rechnen mit dem Baumdiagramm gilt:
- Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert.
- Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade werden addiert.
Aufgaben zum Abi-Check
Aufgabe 1 (mittel – mit Taschenrechner)
Ein Fußballer schießt so lange Elfmeter, bis er zweimal getroffen hat, maximal schießt er viermal. Es ist bekannt, dass er das Tor mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% trifft. Erstellen Sie ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
- kein Treffer
- genau ein Treffer
- genau zwei Treffer
- zwei Treffer hintereinander
Lösungen
Aufgabe 1
Baumdiagramm siehe pdf-Datei. X = „Treffer“, O = „kein Treffer“. Wir berechnen
\(\begin{align*}P(A) &= P(OOOO) = \left(\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{1}{625} = 0,0016.\\
P(B) &= P(XOOO) + P(OXOO) + P(OOXO) + P(OOOX)\\ &= 4\cdot\frac{4}{5}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{16}{625} = 0,026.\\
P(C) &= P(XX) + P(XOX) + P(OXX) + P(XOOX) + P(OXOX) + P(OOXX)\\ &= \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2\cdot\frac{1}{5} + 3\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{608}{625} = 0,973.\\
P(D) &= P(XX) + P(OXX) + P(OOXX)\\ &= \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \frac{1}{5}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{496}{625} = 0,794.
\end{align*}\)
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