Wie kann ich die Ableitung berechnen?
Die Lösung einer Aufgabe in Analysis steht und fällt oftmals damit, ob du für eine Funktion die Ableitung berechnen kannst. Tipps zu einfachen Ableitungen findet ihr hier.
Theorie
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind:
- \((x^r)^\prime = rx^{r-1}\)
- \((e^x)^\prime = e^x\)
- \((\sin x)^\prime = \cos x\)
- \((\cos x)^\prime = -\sin x\)
Für alle differenzierbaren Funktionen \(f\) und \(g\), sowie \(k\in\mathbb{R}\) gilt:
- \((k\cdot f(x))^\prime = k\cdot f^\prime(x)\) (Vorfaktoren bleiben beim Ableiten bestehen)
- \((k)^\prime = 0\) (Konstanten werden beim Ableiten zu Null)
- \((f(x) + g(x))^\prime = f^\prime(x) + g^\prime(x)\) (Bei Summen werden die Terme einzeln abgeleitet)
- \((f(x) – g(x))^\prime = f^\prime(x) – g^\prime(x)\) (Bei Differenzen werden die Terme einzeln abgeleitet)
Aufgaben zum Abi-Check
Aufgabe 1 (leicht)
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion.
- \(f(x) = \frac{1}{10}x^5 + \frac{2}{3}x^3 – 3x\)
- \(f(x) = \frac{1}{6}x^6 – \frac{2}{x}\)
- \(f(x) = 5\sqrt{x} + 6\sqrt[4]{x}\)
- \(f(x) = -2\sin x + \frac{1}{3}\cos x\)
- \(f(x) = 5\cos x – 3e^x\)
- \(f(x) = 2e^x + \frac{1}{7}x^{-2}\)
Aufgabe 2 (mittel)
Ermitteln Sie die Ableitungsfunktion.
- \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
- \(A(u) = au^3 – 3a^2u\)
Aufgabe 3 (schwer)
In welchem Punkt hat die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x\) die Tangentensteigung \(-1\)?
Lösungen
Aufgabe 1
- \(f^\prime(x) = \frac{1}{2}x^4 + 2x^2 – 3\)
- \(f^\prime(x) = x^5 + 2x^{-2}\)
- \(f^\prime(x) = \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{3}{4}}\)
- \(f^\prime(x) = -2\cos x – \frac{1}{3}\sin x\)
- \(f^\prime(x) = -5\sin x – 3e^x\)
- \(f^\prime(x) = 2e^x – \frac{2}{7}x^{-3}\)
Aufgabe 2
- \(f^\prime(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
- \(A^\prime(u) = 3au^2 – 3a^2\)
Aufgabe 3
\(f^\prime(x) = \frac{1}{2}x + 1\). \(f^\prime(x) = -1\Leftrightarrow x = -4\). \(f(-4) = 0\). \(P(-4\mid0)\)Als AB_011D20 kostenlos herunterladen.
