Wie führe ich eine Kurvendiskussion durch?
Unter einer Kurvendiskussion verstehen wir die Untersuchung des Schaubilds einer Funktion auf seine geometrischen Eigenschaften. Um eine Kurvendiskussion für eine Funktion \(f\) zu erstellen, müssen wir mehrere Schritte durchführen. Mit diesen erhalten wir das volle Verständnis über den genauen Verlauf und die charakteristischen Punkte von \(f\).
Theorie
Für eine Kurvendiskussion müssen wir mehrere Schritte durchführen.
- Untersuchung der Symmetrie
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Schnittpunkte mit x-Achse: Wir setzen \(f(x) = 0\).
- Schnittpunkt mit y-Achse: Wir berechnen \(f(0)\).
- Bestimmung der Extrempunkte: Wir setzen \(f^\prime(x) = 0\).
- Bestimmung der Wendepunkte: Wir setzen \(f^{\prime\prime}(x) = 0\).
- Zeichnen des Schaubildes, wobei alle charakteristischen Punkte zu erkennen sein müssen!
Aufgaben zum Abi-Check
Aufgabe 1 (leicht – mittel)
Führen Sie eine Kurvendiskussion der Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{6}x^4 – x^2\) durch und zeichnen Sie dann das Schaubild von \(f\).
Lösungen
Aufgabe 1
- Symmetrie:
Es gilt \( f(-x) = \frac{1}{6}(-x)^4 – (-x)^2 = \frac{1}{6}x^4 – x^2 = f(x),
\) somit ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse. - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Wir berechnen \(f(x) = 0\Rightarrow x_1 = -\sqrt{6}\) (einfach), \(x_2 = 0\) (doppelt), \(x_3 = \sqrt{6}\) (einfach). Somit erhalten wir die Schnittpunkte \(N_1(-\sqrt{6}\mid0)\), \(N_2(0\mid0)\) (doppelt), \(N_3(\sqrt{6}\mid0)\) mit der x-Achse. Da \(f(0) = 0\), ist \(S(0\mid0)\) der Schnittpunkt mit der y-Achse.
- Bestimmung der Extrempunkte: Für die Ableitungen gilt
\( f^\prime(x) = \frac{2}{3}x^3 – 2x,\qquad f^{\prime\prime}(x) = 2x^2 – 2,\qquad f^{\prime\prime\prime}(x) = 4x\,.
\) Wir berechnen \(f^\prime(x) = 0\Rightarrow x_1 = -\sqrt{3}\), \(x_2 = 0\) bzw. \(x_3 = \sqrt{3}\). Dann gilt \(f^{\prime\prime}(-\sqrt{3}) = 4 > 0\), [/latex]\((-\sqrt{3}) = -\frac{3}{2}\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_1(-\sqrt{3}\mid-\frac{3}{2})\). Außerdem \(f^{\prime\prime}(0) = -2 < 0\), \(f(0) = 0\Rightarrow\) lokaler Hochpunkt \(H(0\mid0)\). Schließlich \(f^{\prime\prime}(\sqrt{3}) = 4 > 0\), \(f(\sqrt{3}) = -\frac{3}{2}\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_2(\sqrt{3}\mid-\frac{3}{2})\). - Bestimmung der Wendepunkte: Wir berechnen \(f^{\prime\prime}(x) = 0\Rightarrow x_1 = -1\) bzw. \(x_2 = 1\). Dann gilt \(f^{\prime\prime\prime}(-1) = -4\neq 0\), \(f(-1) = -\frac{5}{6}\Rightarrow\) Wendepunkt \(W_1(-1\mid-\frac{5}{6})\). Außerdem \(f^{\prime\prime\prime}(1) = 4\neq 0\), \(f(1) = -\frac{5}{6}\Rightarrow\) Wendepunkt \(W_2(1\mid-\frac{5}{6})\).
- Zeichnen des Schaubildes: Nun können wir das Schaubild der Funktion zeichnen.
Als PDF kostenlos herunterladen.
