Rechnen mit Punkt und Vektor
Während ein Punkt immer einen festen Ort angibt, zeigt ein Vektor stets eine Richtung an. Für die ersten Rechnungen kommen wir mit den Grundrechenarten aus der Grundschule klar.
Theorie
- Ein Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) setzt sich aus den drei Komponenten \(a_1\) , \(a_2\) und \(a_3\) zusammen.
- Zu jedem Punkt \(A(a_1\mid a_2\mid a_3)\) gehört ein Ortsvektor \(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\).
- Der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) vom Punkt \(A(a_1\mid a_2\mid a_3)\) zum Punkt \(B(b_1\mid b_2\mid b_3)\) ist durch \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}b_1 – a_1\\b_2 – a_2\\b_3 – a_3\end{pmatrix}\) gegeben.
- Vektoren lassen sich komponentenweise addieren bzw. mit einer Zahl multiplizieren.
- Drehen wir die Vorzeichen aller Komponenten eines Vektors um, zeigt er in die entgegengesetzte Richtung.
- Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind.
Aufgaben zum Abi-Check
Aufgabe 1 (leicht)
Es ist das Viereck ABCD mit den Punkten \(A(3\mid10\mid0)\), \(B(10\mid11\mid0)\), \(C(11\mid4\mid10)\), \(D(4\mid3\mid10)\) gegeben.
- Berechnen Sie die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\) und \(\overrightarrow{DA}\).
- Begründen Sie, dass \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.
Aufgabe 2 (mittel)
Ein geradliniger Stab hat die Eckpunkte \(A(4\mid5\mid1)\) und \(B(-3\mid-2\mid8)\). Brechen Sie ihn in sieben gleich lange Teile und geben Sie die Koordinaten der Bruchpunkte an. Hinweis: Fertigen Sie eine Skizze an.
Aufgabe 3 (schwer)
Welche der Punkte \(P_1(5\mid 6\mid 0)\), \(P_2(2\mid 3\mid 3)\), \(P_3(0\mid 1\mid 5)\) bzw. \(P_4(1\mid 4\mid 4)\) liegen auf der von den Punkten \(A(4\mid 5\mid 1)\) und \(B(-3\mid -2\mid 8)\) begrenzten Strecke \(AB\)? Begründen Sie durch Rechnung.
Lösungen
Aufgabe 1
- \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}7\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}1\\-7\\10\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}-7\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix}-1\\7\\-10\end{pmatrix}\)
- \(ABCD\) ist ein Parallelogramm, denn \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) und \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Aufgabe 2
Für die Bruchpunkte \(B_k\) gilt: \(\overrightarrow{OB_k} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{7}k\cdot\overrightarrow{AB}\), \(k\in\{1;\ldots;6\}\). Wir erhalten \(B_1(3\mid4\mid2)\), \(B_2(2\mid3\mid3)\), \(B_3(1\mid2\mid4)\), \(B_4(0\mid1\mid5)\), \(B_5(-1\mid0\mid6)\), \(B_6(-2\mid-1\mid7)\). Abbildung siehe pdf-Datei.
Aufgabe 3
Ein Punkt \(P\) liegt genau dann auf dieser Strecke, wenn der Vektor \(\overrightarrow{AP}\) ein Vielfaches des Vektors \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\) ist, d.h. \(\overrightarrow{AP} = k\cdot\vec{a}\), wobei \(k\in[0;\,1]\). Wir berechnen:
\(
\vec{a} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-7\\-7\\7\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AP_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AP_2} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AP_3} = \begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AP_4} = \begin{pmatrix}-3\\-1\\3\end{pmatrix}
\)
Wir berechnen \(\overrightarrow{AP_1} = k\cdot\vec{a}\Rightarrow k = -\frac{1}{7}\Rightarrow P_1\notin AB\). \(\overrightarrow{AP_2} = k\cdot\vec{a}\Rightarrow k = \frac{2}{7}\Rightarrow P_2\in AB\). \(\overrightarrow{AP_3} = k\cdot\vec{a}\Rightarrow k = \frac{4}{7}\Rightarrow P_3\in AB\). \(\overrightarrow{AP_4} = k\cdot\vec{a}\Rightarrow[latex] unlösbar \)\Rightarrow P_4\notin AB[/latex].
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